Nadie es capaz de resolver (aún) 'los seis grandes problemas matemáticos del Milenio'

Nadie ha sido capaz aún (y han pasado 16 años), de resolver los seis grandes enigmas por los cuales se ofrece nada menos que un premio de seis millones de dólares (un millón por cada uno de ellos).

En el año 2000 el Instituto Clay de Matemáticas, con sede en Cambridge (Estados Unidos), impulsó una iniciativa para incrementar y difundir el conocimiento de las matemáticas en el planeta. Ese centro, fundado en 1998 por el millonario T. Clay y por su esposa Lavinia, lanzó un desafío a las mentes más virtuosas del mundo: el concurso de los denominados 'Siete Grandes Problemas Matemáticos del Milenio". 

Para ello, un comité de expertos nombrado especialmente por los Clay elaboró diversos retos. La lista de problemas presentados incluyó la representación de todas las grandes áreas de la matemática: álgebra, geometría, teoría de números, análisis, física matemática... Exceptuando un solo caso, todavía ningún genio ni mente brillante ha sido capaz de desentrañar los acertijos restantes de esa ciencia exacta.Algunos enigmas llevan más de cien años sin resolverse

Cabe destacar que algunos de esos siete problemas no eran nuevos ni elaborados especialmente para la ocasión: algunos llevan abiertos cien años o más, como la hipótesis de 'Riemann', formulada por este sujeto que le dio nombre en 1857.

Además de su extrema dificultad, los '7 problemas matemáticos del Milenio' fueron elegidos por otro criterio, según los expertos que los seleccionaron: todos tienen suma relevancia dentro del panorama de las matemáticas actuales. Es decir, sus temas concentran áreas centrales de la investigación matemática actual y su vigencia es inapelable en la aplicación de situaciones cotidianas.Solo uno ha sido descifrado

Mientras el tiempo avanza de manera irremediable, más de década y media después de aquel anuncio del Instituto Clay de Matemáticas, que llamaba a 'jugar' a todos los grandes matemáticos y científicos del mundo, solo un problema ha sido descifrado: la denominada 'Conjetura de Poincaré', enunciada originalmente en 1904. Quien da nombre al problema sugería que, en un mundo de cuatro dimensiones, un espacio sin agujeros sería equivalente a una esfera.

El problema se mantuvo intacto casi un siglo, hasta que el matemático ruso Grigori Perelman, tras un encierro de ocho años para estudiarlo, lo resolvió. Tras su victoria, rechazó el millón de dólares de los Clay y la medalla Fields, considerada el Nobel de las matemáticas. En la actualidad vive aislado del mundo, con su madre, en un humilde y desvencijado apartamento de San Petersburgo.

Perelman es considerado un genio. Él, pese a ser tan ermitaño también lo cree. Él mismo destaca que nunca se enfrentó a un problema matemático que no pudiese resolver, aunque admitió que quizás el más difícil en sus años de juventud fue calcular la velocidad con la que Jesucristo tendría que haber caminado sobre la superficie del agua para no hundirse.

"Los vacíos existen por todos lados. El poder de calcularlos nos da grandes posibilidades. Sé cómo manejar el Universo. Ahora díganme ¿por qué tendría que correr a buscar un millón?" resumió Perelman. Y ahí lo dejó.

Los siete millones de dólares de premios, entonces, siguen en el aire, sin adjudicatario. Uno porque no fue entregado al ganador, que lo rechazó, y los otros porque no ha habido triunfadores todavía. Ante el dilema, la comunidad matemática internacional ha decidido repartir fondos entre las personas que inventan más conjeturas sobre esos problemas, pero no han ofrecido soluciones exactas a los mismos.

En agosto pasado, el Congreso de la Unión Matemática Internacional, celebrado en Corea del Sur, galardonó con su premio anual a un profesor del Instituto Courant de Ciencias Matemáticas de Nueva York, llamado Subhash Khot. Este científico de origen indio dedicó mucho tiempo para intentar descifrar la teoría de la complejidad computacional (uno de los siete retos matemáticos del milenio). Sin embargo, no demostró el teorema existente al respecto, que lleva los nombres de los matemáticos Cook y Levin, sino que ofreció una nueva conjetura, motivo por el cual fue premiado por el jurado.

Ese problema, denominado 'P contra NP', tiene enormes dificultades. Todos sabemos que hay problemas (matemáticos o no) en los que es mucho mas difícil encontrar una solución que comprobar si una solución es correcta. El problema 'P versus NP', no obstante, pide ni más ni menos demostrar (o refutar) esa afirmación tan evidente.

Para intentar trasladar a la comprensión de todos el enunciado del problema creado por Cook y Levin, bastaría este ejemplo: supongamos que usted se encuentra en un salón junto con muchas otras personas y quiere saber si un amigo determinado también está ahí. Si le dicen que está sentado en el rincón contrario de la sala bastará un instante para verificar la información. A falta de esa información, sin embargo, usted tendrá que recorrer el salón una y otra vez y mirar a todos los invitados (uno por uno) hasta encontrar a su amigo. Eso demuestra que solucionar un problema lleva más tiempo que verificar una solución ya ofrecida. ¿Pero es la misma la respuesta en los modelos matemáticos, y en especial en la informática? Aparentemente sí, pero nadie ha podido comprobarlo con suficiente veracidad.

Por ello, el investigador Stephen Cook planteó el problema de la siguiente manera: ¿verificar una solución es más difícil y lleva más tiempo que obtener una solución propia independientemente del algoritmo de la verificación? Cook formuló esta pregunta en 1971 como el problema de las clases de complejidad P y NP y desde entonces la cuestión sigue sin resolver, a pesar de la gran importancia que tiene para la informática. Los especialistas dicen que resolver la cuestión podría revolucionar las bases de la criptografía que se usa para la transmisión y el almacenamiento de datos, y en particular para la mensajería electrónica segura y sistemas de pago como el bitcóin.Un español intenta resolver el enigma

Otro de los grandes enigmas que siguen sin resolver es la denominada 'conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer'. El catalán Francesc Castellà, investigador de la Universidad de Princeton, es uno de los tantos genios que por estas horas se ha encarado con este gran desafío del milenio, buscando con obsesión la respuesta acertada y solución. Por ahora no lo ha conseguido...

La conjetura enunciada en 1965 por los matemáticos británicos Bryan Birch y Peter Swinnerton-Dyer es un problema de geometría algebraica pasada por el tamiz de la teoría de números. Es de geometría algebraica porque tiene que ver con curvas algebraicas: conjuntos de soluciones de un polinomio en dos variables. Y teoría de números porque se pide estudiar las soluciones racionales de las mismas (y si los coeficientes del polinomio son también racionales).

Traducido para la media de los mortales, Birch y Swinnerton-Dyer conjeturaron que existe una forma sencilla de averiguar si unas ecuaciones que definen curvas elípticas tienen un número finito o infinito de soluciones racionales. Algunos de los mejores cerebros matemáticos de nuestra época, como el mencionado Castellà, se han despeñado ya contra este problema.

Los otros cuatro Grandes problemas matemáticos del Milenio aún sin resolver son 'la conjetura de Hodge' (todo ciclo es una combinación racional de ciclos algebraicos, es decir de los ciclos asociados a subvariedades analíticas cerradas); 'la hipótesis de Riemann' (sobre números primos), la 'existencia en la Teoría de Yang-Mills' (lo que se pide es un modelo matemático que satisfaga los axiomas de cierta Teoría Cuántica de Campos conocida como Teoría de Yang-Mills o Teoría gauge no-abeliana) y 'las ecuaciones de Navier-Stokes' (problema relacionado con la física, aunque es un problema de análisis y, más concretamente, de ecuaciones diferenciales). El desafío sigue abierto...